Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера

Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых, одна из задач тысячелетия, за решение которой институтом Клэя предложен приз в $1 млн.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах^[1], Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг ${\displaystyle r}$ эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ над полем${\displaystyle K}$ равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля${\displaystyle L(E,s)}$ в точке ${\displaystyle s=1}$. Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел ${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r}}}}$, где значение ${\displaystyle B_{E}}$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположено^[2] , что верна асимптотика

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ при }}x\rightarrow \infty }$

где ${\displaystyle N_{p}}$ — число целых точек на кривой ${\displaystyle E}$ с рангом ${\displaystyle r}$ по модулю ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle C}$ — константа.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления ранга эллиптических кривых^[англ.].

В 1977 годуДжон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая ${\displaystyle E}$ содержит бесконечно много рациональных точек, то ${\displaystyle L(E,1)=0}$.

В 1986 годуБенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при ${\displaystyle s=1}$, то она имеет рациональную точку бесконечного порядка (теорема Гросса – Цагира);

В 1989 годуВиктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая ${\displaystyle E}$, для которой ${\displaystyle L(E,1)}$ не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая ${\displaystyle E}$, для которой ${\displaystyle L(E,1)}$ имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 годуКарл Рубин показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем ${\displaystyle K}$ с комплексным умножением на ${\displaystyle K}$, если ${\displaystyle L}$-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел ${\displaystyle p>7}$.

В 1999 годуКристоф Брёйль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что ${\displaystyle L}$-функции всех эллиптических кривых над ${\displaystyle Q}$ определены при s = 1.

В 2015 годуАрул Шанкар и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг группы Морделла – Вейля^[англ.] для эллиптической кривой над ${\displaystyle Q}$ ограничен сверху величиной 7/6.

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина. — М.: Мир, 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987.
• Иэн Стюарт. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
• Бёрч, Брайан; Свиннертон-Дайер, Питер (1965). Notes on Elliptic Curves (II). J. Reine Angew. Math.165 (218): 79—108. doi:10.1515/crll.1965.218.79.