Десятичная система счисления

Десяти́чная систе́ма счисле́ния — позиционная система счисления по целочисленному основанию 10. Одна из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, называемые арабскими цифрами. Предполагается, что основание 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.

Один десятичный разряд в десятичной системе счисления иногда называют декадой, также используется термин децит, сокращение от decimal digit. В цифровой электронике одному десятичному разряду десятичной системы счисления соответствует один десятичный триггер.

Целое числоx в десятичной системе счисления представляется в виде конечной линейной комбинации степеней числа 10:

${\displaystyle x=\pm \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}10^{k}}$, где ${\displaystyle \ a_{k}}$ — это целые числа, называемые цифрами, удовлетворяющие неравенству ${\displaystyle 0\leq a_{k}\leq 9.}$

Обычно для ненулевого числа x требуют, чтобы старшая цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$ в десятичном представлении x была также ненулевой.

Например, число сто три представляется в десятичной системе счисления в виде:

${\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.}$

С помощью n позиций в десятичной системе счисления можно записать целые числа от 0 до ${\displaystyle 10^{n}-1}$, то есть, всего ${\displaystyle 10^{n}}$ различных чисел.

Дробные числа записываются в виде строки цифр с разделителем десятичная запятая, называемой десятичной дробью:

${\displaystyle a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}10^{k},}$

где n — число разрядов целой части числа, m — число разрядов дробной части числа.

В двоичных компьютерах применяют двоично-десятичное кодирование десятичных цифр, при этом для одной двоично-десятичной цифры отводится четыре двоичных разряда (двоичная тетрада). Двоично-десятичные числа требуют большего количества битов для своего хранения^[1]. Так, четыре двоичных разряда имеют 16 состояний, и при двоично-десятичном кодировании 6 из 16 состояний двоичной тетрады не используются^[2].

Десятичной функцией в теории функциональных систем и в десятичной логике называют функцию типа ${\displaystyle {\mathsf {D}}^{n}\to {\mathsf {D}}}$, где ${\displaystyle {\mathsf {D}}=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}}$ — десятичное множество, а ${\displaystyle \ n}$ — неотрицательное целое число, которое называют арностью или местностью функции. См. также двоичные логические функции.

Для бинарных (двухаргументных, двухоперандных, двухвходовых) десятичных логических функций с бинарным (двухразрядным) результатом (2 децита → 2 децита) всего существует ${\displaystyle 10^{(10^{m})*n}=10^{(10^{2})*2}=10^{100*2}=10^{200}}$ простейших функций, где m — количество аргументов функции (входная «-арность»), а n — количество результатов действия функции (выходная «-арность»), что больше всех больших чисел Дирака вместе взятых и числа Шеннона (оценочное минимальное количество неповторяющихся шахматных партий, вычисленное в 1950 году американским математиком Клодом Шенноном, составляет приблизительно ${\displaystyle 10^{120}}$) впридачу. Всего существует ${\displaystyle 10^{(10^{2})}=10^{100}}$ простейших бинарных с унарным (одноразрядным) результатом десятичных логических функций (2 децита → 1 децит).

Двумя важнейшими из таких функций являются двухоперандное десятичное сложение («одноразрядный десятичный полусумматор») и одноразрядное двухоперандное десятичное умножение («одноразрядный десятичный умножитель»).

Обе эти функции можно также представить, как комбинацию двух двухоперандных функцией с унарным (одноразрядным) результатом: для сложения — «одноразрядное десятичное бинарное сложение по модулю 10» и «единица переноса в следующий разряд при одноразрядном десятичном бинарном сложении», для умножения — «младший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения» и «старший разряд одноразрядного десятичного бинарного умножения».

'Half Adder Decimal Single-DigitCLSDATA 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9DATA 1,2,3,4,5,6,7,8,9,0DATA 2,3,4,5,6,7,8,9,0,1DATA 3,4,5,6,7,8,9,0,1,2DATA 4,5,6,7,8,9,0,1,2,3DATA 5,6,7,8,9,0,1,2,3,4DATA 6,7,8,9,0,1,2,3,4,5DATA 7,8,9,0,1,2,3,4,5,6DATA 8,9,0,1,2,3,4,5,6,7DATA 9,0,1,2,3,4,5,6,7,8DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,1DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,1,1DATA 0,0,0,0,0,0,0,1,1,1DATA 0,0,0,0,0,0,1,1,1,1DATA 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1DATA 0,0,0,0,1,1,1,1,1,1DATA 0,0,0,1,1,1,1,1,1,1DATA 0,0,1,1,1,1,1,1,1,1DATA 0,1,1,1,1,1,1,1,1,1DEFINT I,J,F,A,BFOR I=0 TO 9  FOR J=0 TO 9    READ F2DSM[I,J]  'Function 2-argument Decimal Summ Mod 10 NonSymmetric  NEXT JNEXT IFOR I=0 TO 9  FOR J=0 TO 9    READ F2DC[I,J]   'Function 2-argument Decimal Carry Summ 10 NonSymmetric  NEXT JNEXT IA=9B=9PRINT USING "#";A;PRINT " + ";PRINT USING "# = ";B;PRINT USING "#";F2DC[A,B];PRINT USING "#";F2DSM[A,B]END

'Multiplier Decimal Single-DigitCLSDATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0DATA 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9DATA 0,2,4,6,8,0,2,4,6,8DATA 0,3,6,9,2,5,8,1,4,7DATA 0,4,8,2,6,0,4,8,2,6DATA 0,5,0,5,0,5,0,5,0,5DATA 0,6,2,8,4,0,6,2,8,4DATA 0,7,4,1,8,5,2,9,6,3DATA 0,8,6,4,2,0,8,6,4,2DATA 0,9,8,7,6,5,4,3,2,1DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0DATA 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0DATA 0,0,0,0,0,1,1,1,1,1DATA 0,0,0,0,1,1,1,2,2,2DATA 0,0,0,1,1,2,2,2,3,3DATA 0,0,1,1,2,2,3,3,4,4DATA 0,0,1,1,2,3,3,4,4,5DATA 0,0,1,2,2,3,4,4,5,6DATA 0,0,1,2,3,4,4,5,6,7DATA 0,0,1,2,3,4,5,6,7,8DEFINT I,J,F,A,BFOR I=0 TO 9  FOR J=0 TO 9    READ F2DMULT1[I,J]  'Function 2-argument Decimal Multiplier NonSymmetric 1-st Digit  NEXT JNEXT IFOR I=0 TO 9  FOR J=0 TO 9    READ F2DMULT2[I,J]   'Function 2-argument Decimal Multipliqer NonSymmetric 2-nd Digit  NEXT JNEXT IA=9B=9PRINT USING "#";A;PRINT " x ";PRINT USING "# = ";B;PRINT USING "#";F2DMULT2[A,B];PRINT USING "#";F2DMULT1[A,B]END

Десятичная непозиционная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр (от 1 до 1 000 000) возникла во второй половине третьего тысячелетия до н. э. в Древнем Египте (египетская система счисления).

В другой великой цивилизации — вавилонской с её шестидесятеричной системой — за две тысячи лет до н. э. внутри позиционных шестидесятеричных разрядов использовалась непозиционная (аддитивная) десятичная система счисления с единичным кодированием десятичных цифр^[3]. Египетская десятичная система повлияла на аналогичную систему в первых европейских системах письма, таких как критские иероглифы, линейное письмо А и линейное письмо Б.

Древнейшая известная запись позиционной десятичной системы обнаружена в Индии в 595 г. Нуль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число всё равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, её нужно пометить нулём. В поздних вавилонских текстах такой знак стал появляться, но в конце числа его не ставили. Лишь в Индии нуль окончательно занял своё место, эта запись распространилась затем по всему миру.

Индийская нумерация пришла сначала в арабские страны, затем и в Западную Европу. О ней рассказал среднеазиатский математик аль-Хорезми. Простые и удобные правила сложения и вычитания чисел, записанных в позиционной системе, сделали её особенно популярной. А поскольку труд аль-Хорезми был написан на арабском, то за индийской нумерацией в Европе закрепилось иное название — «арабская» (арабские цифры).

Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах (Перу, Боливия) в государственных и общественных целях в I—II тысячелетии н. э., была узелковая письменность Инков — кипу, состоявшая как из числовых записей десятичной системы^[4], так и не числовых записей в двоичной системе кодирования^[5]. В кипу применялись первичные и дополнительные ключи, позиционные числа, кодирование цветом и образование серий повторяющихся данных^[6][7]. Кипу впервые в истории человечества использовалось для применения такого способа ведения бухгалтерского учёта, как двойная запись^[8].

Реализованная с помощью индоарабских цифр десятичная позиционная система счисления постепенно вытеснила римские цифры и другие непозиционные системы нумерации благодаря множеству несомненных преимуществ^[9].

• Индийская запись чисел компактнее римской и позволяет быстро сравнивать разные числа по величине.
• При расчётах на абаке можно одновременно записывать числа и проводить расчёты.
• Вычисления стало возможно проводить без абака, на бумаге. Появились новые, более простые методы умножения и деления, специально рассчитанные на индоарабские цифры.
• Вычислительная математика и математика вообще получили мощный импульс к развитию. Например, трудно представить изобретение логарифмов без индоарабских цифр.
• Появилась возможность создания счётных машин.

В стандартной десятичной системе счисления для именования больших чисел используются именные названия степеней тысячи, такие как миллион (1 000 000) и миллиард (1 000 000 000). Промежуточные степени десяти образуются прибавлением слов десять или сто, например десять миллионов (10 000 000) и сто миллиардов (100 000 000 000); другие промежуточные количества образуются прибавлением к именным названиям степеней тысячи числительных до тысячи, например сто двадцать семь миллионов (127 000 000). Для биллиона и следующих числительных есть два возможных значения: в короткой шкале каждая очередная именованная единица содержит 1000 предыдущих, а в длинной — миллион; так, биллион, следующий за миллионом, может означать как 10⁹, так и 10¹².

В Индии используется альтернативный способ именованию степеней десяти, основанный на устаревшей ведической системе счисления с основанием 100, согласно которой собственные названия имеют 10³, 10⁵ и следующие степени десяти через один, а промежуточные образуются прибавлением числительного десять. Система была официально утверждена в 1987 году и исправлена в 2002 году^[10].

При записи чисел в индийской системе разделители размещаются в соответствии с этими наименованиями степеней: например, число, записываемое в стандартной системе как 50 801 592, в индийской будет иметь вид будет 5 08 01 592^[11]. Названия лакх и крор используются в индийском диалектеанглийского языка (lakh, crore), хинди (लाखlākh, करोड़karod) и других языках Южной Азии.

• Русские счёты

• Приставки СИ — десятичные приставки.
• Именные названия степеней тысячи
• Декатрон

• Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: АСТ, 2006. — С. 57—59. — 509 с. — ISBN 5-17-009554-6.
• Меннингер К. История цифр. Числа, символы, слова. — М.: ЗАО Центрполиграф, 2011. — 543 с. — ISBN 9785952449787.

• Weisstein, Eric W.Decimal (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.